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Refraktion [1]

[374] Refraktion oder atmosphärische Refraktion (im Gegensatz zur Refraktion in andern Medien, z.B. Kristallen u.s.w.) nennt man den angulären Betrag, um welchen die geradlinige Richtung nach einem anvisierten Objekte (Stern, irdisches Signal) von der Tangente an den Weg des Lichtstrahles abweicht am Orte des Beobachters. Man unterscheidet in der Praxis astronomische und terrestrische Refraktion, je nachdem der Lichtstrahl die ganze Atmosphäre durchschneidet oder nur als von einem Punkte in derselben, d.h. von einem irdischen Objekte ausgehend angenommen werden kann. Die Wirkung der Refraktion ist stets derartig, daß die Zenitdistanz eines Objektes durch dieselbe scheinbar verringert wird.

Astronomische Refraktion (Fig. 1). Ist A der Beobachtungsort auf der Erdoberfläche, die gestrichelte Linie A S die wahre Richtung nach einem Gestirn und A Z die Richtung nach dem Zenit, so würde der Lichtstrahl zwischen S und A ohne das Vorhandensein einer Atmosphäre die Gerade S A zurücklegen. Ist aber G₀ die Grenzfläche der Atmosphäre (soweit sie ein merkliches Lichtbrechungsvermögen besitzt) und werden zunächst die konzentrischen Schichten zwischen G₀, G₁, ... G₃, A als von je in sich gleicher Dichte angenommen, welche[374] aber von Schicht zu Schicht wachsen soll, so wird an jeder Grenzfläche der Lichtstrahl gebrochen und daher einen Weg zurücklegen, wie ihn die Linie S B₀ B₁ B₂ B₃ A andeutet. Der Stern wird also dem Auge in der Richtung A T erscheinen. (Da sich die Dichtigkeit der Atmosphäre nicht sprungweise, sondern kontinuierlich ändert, wird auch die Linie A B₃ .... B₀ S eine kontinuierliche

Kurve sein.) Ihre Form kann bestimmt werden, sobald man in jedem beliebigen Punkt der Atmosphäre Druck und Temperatur der Luft, von denen die Dichte abhängt, angeben kann. In der Richtung A Z (Zenitlinie, z = 0) ist offenbar keine Refraktion vorhanden; für die scheinbare Richtung z = 90° spricht man von sogenannter Horizontalrefraktion.

Ist im Punkte P₁ (Fig. 2) der Einfallswinkel des Lichtstrahls (der Winkel zwischen der Normalen in P₁ als der Verlängerung der Linie M P₁ und der Richtung des Lichtstrahls) gleich i und der Ausfallswinkel gleich r (der Winkel, den der gebrochene Strahl mit der Normalen macht) und sind n und n₁ die den Grenzschichten zugehörigen Brechungsindices von außen nach innen gezählt, so ist nach dem Brechungsgesetz

Außerdem aber folgt aus dem Dreieck P M P₁

wenn i₁ = 180° – M P P₁ gleich dem Einfallswinkel in die nächste Schicht gesetzt wird.

Aus 1. und 2. hat man sofort

(R + d R) n sin i = R n₁ sin i₁,

d.h. das Produkt aus Entfernung eines Punktes der Atmosphäre vom Mittelpunkt der Erde, dem zugehörigen Brechungsindex und dem Sinus des Einfallswinkels für alle Punkte der Atmosphäre ist eine Konstante. Nennt man daher für den Punkt A (Beobachtungsort auf der Erdoberfläche), für welchen dieser Satz doch auch noch gelten muß, die betreffenden Größen R₀, n₀ und i₀ so ist in diesem Fall i₀ = z', d.h. gleich der gemessenen (der scheinbaren) Zenitdistanz, und man kann daher setzen:

R₀ n₀ sin z' = R n₁ sin i₁, = const.

3.

Ist nach Fig. 2 der Winkel E P M = ζ, E P B = d ζ und P M P' = d v, ist ferner der Winkel Z E P, den die Tangente in P am Lichtstrahl mit der Normalen in A macht, gleich ζ + v, so hat man:

i – r = d ζ + d v = d z.

Wenn dann d n den Zuwachs von n im Punkte P bedeutet, also gleich n₁ – n ist und man n = ¹/₂(n + n₁) in der Gleichung

(da n wächst, wenn R abnimmt) setzt, so wird, da ¹/₂ (i – r) = d z immer nur ein kleiner Winkel (im Maximum 35') ist, geschrieben werden können:

Gleichung 5. ist die Differentialgleichung der astronomischen Refraktion. Um sie integrieren zu können (zwischen den Grenzen n = n₀ und n = n_k, wo n₀ für Erdoberfläche und n_k für diejenige Höhe gilt, in welcher die Dichtigkeit der Atmosphäre noch einen eben merklichen Einfluß auf den Gang der Lichtstrahlen auszuüben vermag), muß man die Abhängigkeit d n von d R und z kennen, d.h. das Gesetz der Abnahme der Dichtigkeit der Atmosphäre mit der Höhe. Jene hängt aber nicht nur von der Höhe über der Erde, sondern auch von dem jeweilig herrschenden Luftdruck und besonders von der Temperatur ab. Das Gesetz für den Luftdruck kennt man, aber nicht ein solches für die Temperatur.

(Daß Punkt C nicht mit A zusammenfällt, vgl. Fig. 2, hat selbst für den uns nächsten Weltkörper, den Mond, nichts zu sagen.) – Die vielen, zum Teil mühsamen Wege zur Integration von 5. auf Grund verschiedener Hypothesen über das Gesetz der Abnahme von n mit der Höhe können hier nicht verfolgt werden. Es genüge die Angabe, daß die Aufgabe von Laplace in Frankreich [1], Ivory in England [2] und besonders Bessel in Deutschland [3] in den ersten Jahrzehnten des vorigen Jahrhunderts zum vorläufigen Abschluß gebracht wurde. Die Form für Ref., welche Bessel der Auswertung seiner zahlreichen Beobachtungen zur empirischen Bestimmung der Refraktion zugrunde legte, ist:

wobei α die Refraktionskonstante heißt, γ der Lufttemperaturkoeffizient und B^A der Barometerkoeffizient ist(

wenn b₀ der auf 0° reduzierte Quecksilberbarometerstand ist [Bessel selbst hattet nicht auf 0° reduziert]), die beide = 1 werden für die Grundzahlen der Lufttemperatur und des Barometerstandes (bei Bessel +9°,3 C. und[375] 751,5 mm, bei Laplace +10°C und 760 mm); für diese Grundzahlen gilt die sogenannte mittlere Refraktion R_m, an der dann Verbesserungen für wirkliche Temperatur und Barometerstand anzubringen sind. Für z' = 0° ist R = 0, für z' = 75° ist R_m rund 1' (und die Unsicherheit nur etwa 0'',2), für z' > 80° werden die Beträge von R_m rasch unsicher; die mittlere Horizontalrefraktion bei Bessel ist 34'54'', aber in der Nähe des Horizontes sehr unsicher, oft um ganze Minuten. Der Exponent A ist noch für z' = 75° gleich 1 und steigt erst bei 89¹/₂° auf rund 1,08; dagegen ist λ nur bis zu z' = 40° gleich 1 und steigt (mit für große Zenitdistanzen rasch wachsender Unsicherheit) bei 89¹/₂° schon auf 1,58. Für alles weitere muß auf die Literatur verwiesen werden, außer den genannten Quellen besonders [3], z.B. auch [4]–[15]: [4] und [5] geben die vollständige Geschichte der astronomischen Refraktion, [6]–[8] die elementare Theorie nach Laplace, in [9] ist eine kurze Wiedergabe der Besselschen Resultate, ähnlich [10], etwas ausführlicher [11] und [12]. Zu der in [5] bis 1890 vollständig aufgezählten neueren Literatur (besonders Radau, Bonnet, Gyldén, Harzer, Kerber, Oppolzer) seien aus den letzten Jahren noch hinzugefügt [13]–[15]. Tafeln der astronomischen Refraktion finden sich z.B. in [5]–[11]; einfache Tafeln zu nautischen Messungen (z.B. auf 0',1) in den nautischen Tafelsammlungen, z.B. [16]–[18] u.s.w., zur Rechnung auf 1'' in manchen Ephemeriden, z.B. [19], [20], zur scharfen Rechnung auf 0'',1 in [21] und [22]; bemerkenswert sind auch die Tafeln in [9], die, neben der gewöhnlichen Besselschen Tafel mit der gemessenen Höhe h' als Argument, auch eine Tafel mit der für Refraktion verbesserten Höhe h als Argument enthalten (bei berechnetem h oder z, bei Monddistanzen, Sextantenprüfung u.s.w. erwünscht). Eine für die Tropen bestimmte Tafel gibt [23]. – Anbringung der Refraktion an gemessenen Höhen oder Zenitdistanzen s. Höhenwinkel, Bd. 5, S. 98. Ueber den Einfluß der Refraktion auf die scheinbaren Sternkoordinaten, die Distanz zwischen zwei Sternen, die Positionswinkel, ferner auf Mikrometerbeobachtungen muß auf die Literatur verwiesen werden, z.B. für die zuerst genannten Einflüsse kurz [7], S. 90, [5], S. 218 (Distanz), [9], S. 212 u.s.w., für Mikrometerbeobachtungen besonders [3] (Abhandlungen, herausgegeben von Engelmann), ferner z.B. [24]. – Die Verzerrung der scheinbaren Sonnen- und Mondscheibe am Horizont durch die Refraktion ist augenfällig; beide haben rund ¹/₂° Durchmesser, und da die (mittlere) Refraktion für h = 0, rund 35', für h = +0°30' aber nur rund 29' beträgt, so erscheinen diese Scheiben, wenn der Unterrand den Horizont berührt, mit einem um etwa ¹/₅ verkürzten Vertikaldurchmesser. Die häufig starken Verkrümmungen und Verzerrungen der Scheibenränder beim Untergang von Sonne und Mond zeigen übrigens die Unsicherheit des Refraktionsbetrags in sehr kleinen Höhen. Vgl. dazu [18]. Auch in größeren Höhen ist die Refraktionsveränderung der Sonnen- und Mondhalbmesser zu berücksichtigen, z.B. bei den Monddistanzen (s. Bd. 6, S. 481).

Terrestrische Refraktion. Seit Picard, dem Begründer der modernen geodätischen Beobachtungskunst, ist die Tatsache auch einer terrestrischen (geodätischen) Refraktion bekannt. Die Unbeständigkeit dieser terrestrischen Strahlenbrechung ist einer der Gründe, aus denen die trigonometrische Bestimmung der Höhenunterschiede von Punkten der Erdoberfläche (auf große Entfernungen) an Genauigkeit dem Nivellement mit sehr kurzen Zielweiten so bedeutend nachsteht. Sie geht so weit, daß selbst gleichzeitige gegenseitige Zenitdistanzmessung zwischen zwei Punkten A und B nicht (wie meist angenommen wird) genügt, um die durch die Unkenntnis des Refraktionskoeffizienten (s. unten) herrührende Unsicherheit in jedem Fall vollständig zu eliminieren; vgl. z.B. [25], besonders Vorwort, S. IV-VII. Die gewöhnliche und in jedem Fall der praktischen Anwendung ausreichende Annahme ist diese: der Lichtstrahl zwischen zwei Punkten A und B der Erdoberfläche ist ein schwach gekrümmter Kreisbogen. Sein Halbmesser ist 1/k mal so groß als der Erdhalbmesser (k ist dann der sogenannte Refraktionskoeffizient) und die konkave Seite des Bogens der Erdoberfläche zugekehrt. Im Mittel (z.B. im Mittel aus den Werten im Verlauf eines normalen Sommertags) ist k = 0,13 oder 0,14 (etwa ¹/_7–¹/₈ so daß der Halbmesser der Lichtkurve A B gleich dem 7–8fachen Erdhalbmesser ist). Aber der Wert von k ist sehr bedeutenden Schwankungen unterworfen; er kann bis zu 0,3, ja in manchen Ausnahmefällen bis zu 0,5 anwachsen (sehr starke Krümmung des Lichtstrahls A B) und kann auf der andern Seite 0 und negativ, z.B. bis –0,2 werden (im ersten Fall ist der Lichtstrahl AB eine Gerade, im zweiten ein gegen die Erdoberfläche konvexer Bogen; dieser Fall kann eintreten bei der sogenannten Temperaturumkehrung, d.h. Zunahme statt der normalen Abnahme der Lufttemperatur mit Erhebung über die Erdoberfläche. Vor allem ist k nämlich abhängig von der Temperaturverteilung in der Atmosphäre zwischen A und B; hiergegen treten alle andern meteorologischen Umstände sehr zurück). Der Koeffizient k hat an Sommertagen mit normaler Witterung eine tägliche Periode derart, daß er bei Sonnenaufgang und -untergang etwa 0,2 oder etwas größer, über den Mittag dagegen nur 0,07–0,09 ist. Erfahrungsresultate über die terrestrische Refraktion hat in den letzten Jahrzehnten besonders Bauernfeind durch Messung gegenseitiger und gleichzeitiger Zenitdistanzen zwischen drei Punkten durch ganze Tage hindurch gesammelt; vgl. [26]. Bezüglich der Theorie der terrestrischen Strahlenbrechung ist besonders die Zusammenstellung von Helmert zu vergleichen [27]. Eine sehr einfache und übersichtliche Entwicklung hat Jordan in seinem Handbuch der Vermessungskunde gegeben [28]. Dort sind auch die Formeln zu finden, nach denen mit Rücksicht auf die terrestrische Refraktion trigonometrisch gemessene Höhen zu berechnen sind. Hier mag noch die für mittlere Entfernungen und nicht zu große Höhen gültige Formel Platz finden: h = a cotg · z + (1 – k)/2r a², wo h die gesuchte Höhe, a die Entfernung des Fußpunktes der Normalen von dem anvisierten Punkt auf die Erdoberfläche vom Beobachtungsort, z die gemessene Zenitdistanz, r der Radius der Erde und k der Koeffizient der terrestrischen Refraktion (im Mittel gleich 0,13) ist. Es gibt sehr bequeme Tafeln für die Größe (1 – k)/2r a², z.B. in [28], Vgl. a. Depression des Horizonts, wo eine[376] kleine Tafel den Einfluß verschiedener k-Werte anschaulich macht, und Höhenmessung, trigonometrische, Bd. 5, S. 92. Zur Theorie vgl. a. [29].

Seitenrefraktion. Zu erwähnen ist noch außer der im vorstehenden besprochenen astronomischen und terrestrischen Höhenrefraktion die sogenannte Lateralrefraktion (seitliche Strahlenbrechung), die für die langen Sichten bei den Horizontalwinkelmessungen der höheren Geodäsie in Betracht kommt. Die regelmäßige Lateralrefraktion (wegen Abplattung der Niveauflächen) ist völlig unmerklich und auch die durch das Schwanken der meteorologischen Elemente entstehende kaum ins einzelne zu verfolgen; vgl. [30] und [31].

Literatur: [1] Mécanique céleste, Bd. 4 (1805); Schlußformeln S. 264 und 271. – [2] Philosoph. Transactions von 1823 und später mehrfach; vgl. a. Astron. Nachr., Bd. 12. – [3] Fundamenta Astronomiae 1818 (Sektion IV, S. 26–44); später die vollständigen Refraktionstafeln in der »Refractio astronomica« (Tabulae Regiomontanae) 1830. – Alle die Besselschen Arbeiten zur astronomischen Refraktion (Tafeln im Auszug) sind aufgenommen in die »Abhandlungen«, herausgegeben von Engelmann, Bd. 1, Leipzig 1875, S. 235–260 (vgl. auch schon den Schluß von Nr. 28). – [4] Bruhns, Die astronomische Strahlenbrechung in ihrer historischen Entwicklung, Leipzig 1861. – [5] Wolf, Handbuch der Astronomie, II, 1, Zürich 1892, S. 259–278. – [6] Faye, Cours d'Astronomie de l'Ecole Polyt, Bd. 1, Paris 1881, S. 113–122. – [7] Caspari, Cours d'Astronomie pratique, Bd. 1, Paris 1888, S. 82–89. – [8] Baillaud, Cours d'Astronomie, Bd. 2, Paris 1896, S. 22–34. – [9] Jordan, Grundzüge der astronomischen Zeit- und Ortsbestimmung, Berlin 1885, S. 25–31. – [10] Herr-Tinter, Sphärische Astronomie, Wien 1887, S. 137–147. – [11] Chauvenet, Spherical and Practical Astronomy, 5. Aufl., Philadelphia 1893, Bd. 1, S. 127–172. – [12] Brünnow, Sphärische Astronomie, 4. Aufl., Berlin 1881, S. 155–182. – [13] Hepperger, Zur Theorie der astronomischen Refraktion, Sitzungsber. der Akad. der Wiss. Wien, math.-nat. Klasse, April 1893. – [14] Bauschinger, Ueber eine neue Bestimmung der Refraktionskonstanten auf astronomischem Wege, Sitzungsber. der Bayr. Akad. der Wiss., math.-phys. Klasse, München 1895, Bd. 25, S. 239; vgl. a. Annalen der Münchener Sternwarte, Bd. 3 (Refraktionskonstante mit den Laplaceschen b₀ und t₀ 60'',104); Großmann, E., Beobachtungen am Repsoldschen Meridianrefraktor der v. Kuffnerschen Sternwarte zu Wien 1896/98, Leipzig 1901. – [15] Comstock, Studies in Spherical and Practical Astronomy, Bull. Univ. Wisconsin, Bd. 1, Nr. 3, 1894; bequeme, geschlossene Form für die Refraktion. – [16], [17], [18] Nautische Tafeln von Domke, Ligowski u.a., ferner z.B. Raper, Practice of Navigation, 19. Aufl., London 1895; Koß, Kimmtiefenbeobachtungen, Mitteilungen aus dem Gebiete des Seewesens, Pola 1900, S. 429–438, und die Referate darüber in den Annalen der Hydrographie. – [19] Connaissance des Temps, jedes Jahr, nach Laplace-Caillet; r_m ist durch Korrektionsfaktoren für Temperatur und Barometer auf r zu bringen. – [20] Nautisches Jahrbuch, jedes Jahr; b₀ und t₀ jetzt ebenfalls 760 mm und +10°, additive Verbesserungen an r_m. – [21] Die Pulkowaer (ebenfalls Besselsche) Tafel in [11], Bd. 2, Taf. I und II (S. 571). – [22] Noch ausführlicher in Albrecht, Formeln und Hilfstafeln zu geograph. Ortsbestimmungen, 3. Aufl., Leipzig 1894, S. 243–260. – [23] Ambronn in Mitteilungen aus den deutschen Schutzgebieten, Bd. 6, Berlin 1893, S. 255. – [24] Baillaud, Bulletin Astronomique (Tisserand), Bd. 13, Februar 1896, S. 41. – [25] Zenitdistanzen zur Bestimmung der Höhenlage der Nordseeinseln Helgoland, Neuwerk und Wangeroog über Cuxhaven und Schillig (Preuß. Geodät. Institut, Helmert, Berlin 1895). – [26] Ergebnisse aus Beobachtungen der terrestrischen Refraktion (1. bis 3. Mitteil, und Nachtrag, München 1880/90), ferner, Elemente der Vermessungskunde, 7. Aufl., Stuttgart 1890, Bd. 2, S. 454; Ambronn, Beitrag zur Bestimmung der Refraktionskonstante, Hamburg 1887 (enthält über ganze Tage fortgesetzte Beobachtungsreihen an der Polarstation Kingua-Fjord). – [27] Helmert, Theorien der höheren Geodäsie, Bd. 2 (Physikalische Theorien), Leipzig 1884, S. 584–590. – [28] Jordan, Handbuch der Vermessungskunde, Bd. 2, 6. Aufl., herausgegeben von C. Reinhertz, Stuttgart 1904, S. 582–594. Bequeme Tafeln für (1 – k)/2r a² auf S. 10 und 11. – [29] Zeitschr. für Vermessungswesen 1897, S. 17–20, und ebend., Eggert, Vergleiche der Ergebnisse des geometrischen und trigonometrischen Nivellements nach den durch Bauernfeind 1881 ausgeführten Beobachtungen, 1900, S. 113–139. – [30] Helmert (s. [27]) S. 564 (regelmäßige Lateralrefraktion). – [31] Jordan, Handbuch, Bd. 3, 5. Aufl., Stuttgart 1906.

Fig. 1.

Fig. 2.